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②使用自带的软件商店

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③使用下载资源

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本文来自微信公众号：返 （ID：fanpu2019），作者：张和持长久以来，夸父们都将“数”等于“实数”  。实数就同当空烈日一般，统治着个数学世界。文艺复兴时的代数学家为了解方程，入了复数 。 但即便是数这样自然的构造，也历了几百年才被数学界所接。实数的地位似乎是不可疑的。到了 19 世纪末 20 世纪初，数学家们惊讶地发现，包含  几山备域不一定是  ，还有能是  进数  。 就是星星，而  更像是月：月亮固然是夜空中最为亮的，也时常盖过群星的辉，但是星星的存在也提着我们，这个宇宙中有更辽远的空间等待探索。上创造了整数，其他都是人的工作。—— 利奥波德・克罗内克（Leopold Kronecker）进数的引入动机 进数的其不是一个符号，而是代表一个素数。有理数域可以充为实数域，但是这种扩并不是唯一的。上面所说进数，就是指对于任意素，都可以扩充为进数域。数来自于有理数的小数展，而进数来自有理数的进开。虽然小数也有不同进的写法，但是这与进数本上是不一样的：小数展开认的是逐次变小，而进展则默认逐次变“小”。我将在后文中解释这个问题如下图所示，实数与进数地位是相同的。实数和进都包含有理数，他们之间并列的关系首次引入进数是德国数学家亨泽尔（Kurt Hensel），而在他之前的库默尔（Ernst Kummer）已经隐含地使用过了这种奇屏蓬数字。如同库默尔一样，泽尔的原始工作也很难读。他的文章发表于 1897 年，此时“域”的概念才仅仅诞生英山 4 年：1893 年，韦伯（Heinrich Martin Weber）第一次定义了域，它是一个带有狪狪法乘法两种运算的集合，也以写作，满足加法和乘法结合律加法和乘法的交换加法和乘法都有单位元（般把加法单位元写作，乘单位元写作）每个元都有法逆元，也就是每个非零都有乘法逆元，也就是乘对于加法满足分配律我们悉的有理数和实数都是域韦伯之所以这么定义，是把（就是模剩余类，比如一周七天的算数就是）也入进来。如果去掉乘法逆的条件，上述定义就变成所谓的交换环，最典型的子就是整数环。数论的问通常是关于的，如果在中许非零元有乘法逆，就得了，这个构造叫作取的分域。由于很多中得到的结都能直接套到上（例如中项系数为的多项式存在有根当且仅当它存在整数根，所以我们通常把它们放一起考虑。但是这两个对的性质都很“糟糕”。例，我们想要判断对于某一非零的，是否有有理数解这看上去根本无从下手。是如果想要判断有没有实根，就很简单了：只要中一个，就存在实数解，反则不存在。假如，那么就一个实数解。但是如果，么对于任意实数，都一定所以不存在实数解。很显，存在有理数解，那就一存在实数解，毕竟，但是过来并不一定成立。那实解的存在性对有理数解有助吗？答案是肯定的，为我们需要定义希尔伯特符（是“或者”，是“并且）：要解决有理解的判断题，需要对于每个素数定希尔伯特符号。这个定义样初等，但是稍微麻烦一，有兴趣的读者可以自行阅参考文献 [1]，我们之后不会涉及这个定义本。重点在于，这个定义是以直接计算的，所以很方判断。数学家们证明了一惊人的定理：存在有理数当且仅当对所有都成立。个定理的确非常方便，但提出了一个更加深刻的问：既然可以解释为判断是有实数解，那是否也对应一个的扩域，而且当且仅方程在这个域中存在解呢如果的确如此，那似乎我就能把有理数解看作是这所有域中解的“交集”。然，交集的说法并不准确就结论而言，我们要寻找对应的正是进数域，这些有的和一起，可以称为对的“局部域”。而则是“体域”。上面的定理其实在讲局部与整体的对应。听起来似乎匪夷所思，明域变大了，却从整体变成局部。要解释这一点，我要先了解一些几何学。类整数环  与多项式环早在抽象环论诞生之冰夷，数学们就注意到数论与几何的似之处。具体来说，与作环的性质非常相似，比如两个环都能做带余除法，此它们都是欧几里得整环这里是以为系数的多项式，这个系数域就算换成别域也会有很多相似之处，是我们这里需要用到一些析的方法，所以复数最为便。顺带着，它们的分式和也很相似。就是指允许零多项式做除法。的元可看作是上的亚纯函数：它的分母在个别点不一定不零，所以这些函数会有趋无穷的极点，但是这些点是离散的，很容易处理。于而言，局部显然就是指中的任何一个点。这些亚函数在任何点附近能展开洛朗级数，就如同全纯函（处处解析）能在任何点开成泰勒级数一样，只不洛朗级数允许存在这样的。例如，在点附近，可以开的形式。在任何点处我都能定义亚纯函数的阶为洛朗展开最左边那一项的数。比如上面这个函数在一点的阶就是。类似的展也可以在中进行。一般来对于某个有理数，我们都将它写作的形式，其中是不相同的素数，是整数，正可负。定义。我们有没办法把展开成类似的形式？答案是肯定的，你可以式化地对做进展开为什么以这样写呢？对于一般的数除法，商的小数点后的字会越来越长，因为我们认数字的位数越靠后，其大小”就越小，所以我们能写出这样的无穷小数。是要做出上面这样的展开其实是默认的序列会越来“小”，我们先写，这样需要算，最后整体移动一。计算如下细心的读者会现，这样的除法之所以每步都能算出商的一位数字依赖于是域这个事实，所对于不是素数的数，不是，也就不能这样展开。这就算出了现在完全依靠类，我们得到了这样的展开。对任意素数，我们称这的展开为进展开。这样的开与小数的进制表示非常似，这也也解释了它的名。但这纯粹是形式上的。们还需要解释三个问题：理函数在某点的洛朗展开然与“局部”有关，但是理数在素数处的进展开为么也叫局部？为什么也是局部？究竟要怎么严格定进展开？也就是说，如何义？为什么叫局部？我们要把中的点与联系起来，样才能知道，对于来说，究竟是什么意思。为此我需要理想的概念。对于一交换环，理想是一个满足下性质的真子集：对于加法封闭；，也就是说的元乘上任意中的元之后，结仍在中。这个定义原本是默尔（Ernst Eduard Kummer）与戴德金（Julius Wilhelm Richard Dedekind）为了解决代数数域中素元解不成立而提出的（这也为什么叫做理想：一个非“理想”的子集），代数何学家们却找到了它的几意义。我们用来表示中包的最小理想（也就是说由成的理想）。这是一个极理想，也就是说，它不是何理想的真子集。实际上对于中的任意点，都是极理想。而反过来，中的所极大理想，全都形如。所的点与的极大理想一一对。这样我们就能考虑的极理想，来当作它的点了，的极大理想正是所有形如理想。这样简单的类比其还不能称为“几何”。这等到格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）创造性地提出概型理论，研究的代数何与研究的数论才能真正一在一起。在这套理论中环的素理想（本文中不需这个概念）被称为点，而大理想则是闭点。这套理需要更加艰深的背景知识本文就不做介绍了。总之上面我们用到的洛朗展开进展开，都是对应两个环闭点。如果接受这样的设，你就会发现“局部”的法没什么问题。那么在中展开，也就是小数展开，算什么呢？它其实是对应理函数在无穷远点的洛朗开。如图所示img复平面上的任何点都可以对应于面上的某点，只需要连接的顶端与复平面上的点，段一定会交于球面上的一。这样就建立了复平面与面（除了顶端一点）的一对应。而如果在复平面上任何方向接近无穷，转换球面上，就一定会逼近顶。这样我们就可以把这个面当作是的扩充，称为黎球面，记作。现在要对有函数在无穷远点处做洛朗开，其实就是把里的有理数看作是是的函数，然后处作洛朗展开。也就是因这样的类似性，我们上面义的判别式才写作。定义了定义，我们首先得知道什么。从逻辑上来说，第个定义的应该是自然数，后才是, 但是这每一步是怎么来的呢？是由皮亚诺理定义的，也就是从开始规定每个数都有一个后继，所以可以使用数学归纳。随后我们要得到，该怎办呢？直观来看，定义整允许了负数的存在。但是数究竟是什么？比如说，其实是，也可以是。所以果要用来定义的话，一个数实际上是中的一个等价，也就是当时，我们规定价关系。这样就可以定义所有等价类构成的集合。然是的子集，因为自然数当于是这个等价类。类似方法可以构造：因为允许数存在，而且如果，就有所以我们定义，其中当时而整数也可以等同于等价，所以也是的子集。上面次扩张，都是允许了某种的运算，然后通过取等价的方式来构造的。那么是许了什么运算呢？答案是极限。从事后诸葛亮的角来看，如下序列的极限是但是现在我们只有，所以们只能说，这个序列在中不收敛的。如果让所有像样的序列都收敛到一个数那想必就是了。但并不是有序列都收敛，比如所以们需要对序列加以限制，后取某种等价类。限制后序列被称为柯西列，定义下：对于有理序列，满足于任意，都存在一个，使只要，就有。直观来看，是要求序列的尾部摆动趋。不难证明，收敛于有理的序列都是柯西列，所以可以说是中收敛序列的自推广。当然两个柯西列有能收敛于同一个数，所以们还需要等价关系当且仅。这样所有柯西列组成的合中的所有等价类就定义。所有的有理数都等同于常数柯西列的等价类，所也是的子集。这也可以解一个对外行而言难以解答问题。其实是柯西列，而是柯西列。他们的差是序，趋于，所以两个柯西列价。不过我们要注意一点柯西列的定义依赖于。当这里的的定义是平常意义的绝对值。绝对值表示两数之间的距离。在中，是来越小的。但是我们看到在上面的进展开中，越来小的却是，这就提示我们应该更改这个距离的定义我们暂且把这种新距离称，称为进度量。我们需要大，就越小，所以一个自的定义是。其实底数不一要是，取任何大于的数都以（他们决定的柯西列是全一致的），之所以取只为了方便。当然，距离并是随便取的，函数需要满三条性质才能叫做度量函（这其实定义了域上的范）：当且仅当；；，也就三角形法则，两边之和不于第三边。这样只要有距函数，就能定义柯西列，能定义新的域。这个过程称为完备化，因为我们称何柯西列都收敛的域为完域。总结一下，就是说的对值度量完备化得到，而进度量完备化就定义为，是我们想要的进数域。我甚至可以对定义类似的距，得到的完备化就是形式朗级数域和。所谓形式洛级数，就是形如一个洛朗数的表达式，不过不用处收敛问题。则通过洛朗展，嵌入到这些形式洛朗级域中作为子集。的完备化过我们并不把称为局部域这是别的原因了，与本文关。我们可以看到，这些入关系与进数非常相似。然任意给一个度量就能定柯西列，那除了绝对值和度量之外，还有别的方法义距离吗？答案是没有。中，任意一个满足上面三性质的度量，都等价于绝值或者是某个进度量。也是说，以上我们提到的就所有的完备化方案了。我平常计算实数的时候倒并会总是考虑柯西列，反而小数展开更常用；同样，际计算进数的时候，更常进展开。运用以上构造，们可以证明当且仅当方程中有解。所以我们开篇提的定理，就可以表述为：中有解当且仅当其在所有中有解。我们自然而然会，是不是任意给一个多项方程，其存在有理解的条都等同于存在实数解和所进数解？答案是否定的，不少多项式不成立这个结。这激发起了数学家们的奇心：究竟哪些多项式有似的性质呢？我们把这个向称为局部 — 整体原则，直到今天，它所催生的知识还在源源不断滋养着个数论的研究。跟现实有么关系吗？的确，数论是离现实世界非常遥远的一学科。近些年来，有部分论被应用于密码学。而要接应用于物理，以描述现世界，并被大多数物理学所接受，这样的工作目前不多。这从逻辑上其实是奇怪的。的完备化只有和但为什么我们今天的物理论全都是用及其代数闭包述的呢？进数与实数从逻上讲没有任何高下之分，们都可以做导数，做积分大多数你能想到的分析工，都能平等地用到它们身。那为什么我们生活在实世界，而不是进数世界呢还真有人想到了这种可能。弦论中，弦扫过的世界是用一维复流形（也就是曼面）描述的，但是如果黎曼面换成是进几何学中应的概念，也能创造出一弦论，称为进弦论。目前看，这方面的研究成果还于玩具阶段。不过，这并影响我们的好奇心。毕竟我们仰望夜空，只是因为星很美丽。参考文献[1] 加藤和也，黑川信重，斋藤毅.数论 I——Fermat 的梦想和类域论.[2] Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions.

更新内容

一、修复bug，修改自动播放;优化产品用户体验。

二、 1.修复已知Bug。2.新服务。

三、修复已知bug;优化用户体验

四、1，交互全面优化，用户操作更加便捷高效;2，主题色更新，界面风格更加协调;3，增加卡片类个人数据

五、-千万商品随意挑选，大图展现商品细节-订单和物流查询实时同步-支持团购和名品特卖，更有手机专享等你抢-支付宝和银联多种支付方式，轻松下单，快捷支付-新浪微博，支付宝，QQ登录，不用注册也能购物-支持商品收藏，随时查询喜爱的商品和历史购物清单。

六、1.bug修复，提升用户体验;2.优化加载，体验更流程;3.提升安卓系统兼容性

七、1、修复部分机型bug;2、提高游戏流畅度;